怎么我感觉用定义证明函数极限的方法不是非常科学？就像照版套公式似的，是不是我还没有形成某种理解它的

看得出来，楼主是经过了思考，但是楼主并没有得到良师的合理指导。
极有可能是遇到了一个花拳绣腿、穿凿附会、滥竽充数的教师，他们
是教学的主流，他们教书一辈子，稀里糊涂一辈子，害人子弟一辈子。
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他们教极限理论，永远照本宣科，永远人云亦云，不知所云。解释来
解释去永远是生硬那么几句话，什么任给一个ε，总存在一个δ，找到
δ，就证明结束。他们就像新加坡的华人小学生，人人会用马来语唱
国歌，当你问他们是什么意思时，个个摇头不知道。我们的绝大多数
大学教授，也是这种德性德行。问多了，他们就猴急，他们从不检讨
自己脑笨口笨，只怪学生理解能力差，其实他们本身就是混世虫鬼混。
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极限证明的方法，是不是科学，请楼主看看本人下面的解释，然后，
欢迎楼主进行评论、质疑。
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【先解释 ε-δ 方法】
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一、抽象一点来说：
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1、ε-δ method，epsilon-delta method，precise method，
我们翻译成“ε-δ 语言”，这是一个类似吵架的语言，是将一个无穷
列举过程，变为抽象证明的过程；
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2、由于ε可以任意的小(限制在正数)，这才对δ得出更严格的要求。
也就是说，无论你的ε是多么的小，我们总可以根据你的ε，算出一个δ。
当x进入到由δ所确定的区间的时，函数值与极限值之差才会小于ε。

3、由于ε的任意性，就避免了无穷列举的过程；
由于ε可以任意的小，就保证了极限的无止境趋向于一个值的趋势。
趋向于 = approaches，goes unlimitedly；
趋势 = tendency，trend。

二、形象一点来说：

我说f(x) 的极限是A，你不相信。我问你要怎样你才相信？
你说要两者之差小于0.5才相信。
我算了一下，告诉你当 x 跟 x。之差小于 0.1 时就能做到。

你反悔了，改口说两者之差要小于0.1才相信。
我又算了一下，告诉你当 x 跟 x。之差小于0.01时就能做到。

你不断反悔，我不断重新计算。
你不断提高要求、提高精度，我就不断计算、不断列举。

我烦了，我对你说：
“得了，得了，你给一个抽象的很小的数，我给你一个公式，你自己算！“

结果你也同意了，就给了一个随时随意可以任意更改的很小的正数，
这个正数就是 ε。

我就算出了另一个很小的正数 δ，其实是一个公式，
是用 ε 表示 δ 的公式。

只要将 x 跟 x。之差限制在 δ 之内，
你就可以算出函数值跟函数的极限值之差小于 ε。
这样理解了 ε-δ 在证明中的意思了吗？
理解了它们的在证明过程中的作用了吧？
能 make sense 了吗？
这样就保证了严密性。
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【下面解释 ε-N 方法】
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1、我说：Xn的极限就是a，可是你不信。
2、你说：Xn与 a 有差值存在。
3、我问你：差值多小时你能接受？你能给出一个数吧？
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你给出了一个很小的数，譬如0.0000123。
我计算了一下，我说当N大于100时(比方)，两者之差就小于0.0000123了。
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你不服，又给出一个更小的数，譬如0.0000000000456。
我又计算了一下，我说当N大于1000时(也是比方)，两者之差就小于0.0000000000456了。
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你依旧不服，你又给了更小更小更小的数，我又算；
你再给，我再算；
你再再给，我再再算；
你再再再再给，我再再再再算；
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我说，算了吧，你给一个象征性的很小很小的数的代号，
我推导一个用你的代号表示的公式给你，你自己计算，自己验证，自己玩吧。
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你给的这个数就是ε，我就给你一个公式，算出了N，从N后面起，差值就小于 ε。
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说到这里，你明白极限证明的论证过程了吗？
这个过程，是无穷列举理论化的过程；
这个过程，强调的是趋势，是无休止的趋势，是无止境的趋势，英文是tendency。
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“任给”二字，体现的是 ε 可以无限地更改，无限的反悔，无限的耍赖；
根据 ε 算出来的 N，只是一个具体的数，N 之后的任何数，都可以作为 N；
这就是放大缩小的理论依据，只要能确定一个 N，从这个 N 之后的任何数
都是 n。
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【请记住】：
N、n 都仅仅只是项数！是 number of terms ！
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如果明白了，那就恭喜你！你已经掌握极限证明的真谛了！确实可喜可贺！
如果不明白，那也恭喜你！你终于体察出我们落后的原因！同样可喜可贺！
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我们祖先，不落后人，他们也有悖论，也有极限思维。
我们后人，没有超越，我们没有开拓，落后始于极限。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释。
答必细致，释必诚挚，言必中肯，直至满意。