191问答库 > 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所

2025-05-14 14:01:37

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回答1：

（1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD．
故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°．…（3分）
（2）如图，取PD中点E，连接AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，
∴EN ∥

CD ∥

AB∴AMNE是平行四边形∴MN ∥ AE．
在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线．∴AE⊥PD．
由PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，可推出CD⊥PD
又CD⊥AD，AD∩PD=D
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．∴MN⊥平面PCD．…（7分）
（3）∵AD ∥ BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角．
由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x（x＞0）．∴tan∠PCB=

a 2 + x 2

1+ (

) 2

．
又∵

∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）．
又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈（

，

），
即异面直线PC，AD所成的角的范围为（

，

）．…（12分）