高中数学数列递推常用(考)方法,求详细

2024-02-12 20:13:33
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回答1:

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回答2:

公式法,累加法,累乘法,待定系数法,对数变换法,迭代法,数学归纳法,换元法。
一、公式法
例1 已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则

所以数列的通项公式为。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则

所以
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
已知数列满足,求数列的通项公式。
解:两边除以,得,
则,故

因此,

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
例6已知数列满足,求的通项公式。
解:因为 ①
所以 ②
用②式-①式得


所以 ③
由,,则,又知,则,代入③得。
所以,的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设 ④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得 ⑤
由及⑤式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
例8 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设 ⑥
将代入⑥式,得

整理得。
令,则,代入⑥式得

由及⑦式,
得,则,
故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。
例9 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设 ⑧
将代入⑧式,得
,则

等式两边消去,得,
解方程组,则,代入⑧式,得

由及⑨式,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:因为,所以。在式两边取常用对数得 ⑩

将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则
,故
代入式,得
由及式,
得,
则,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此
则。
评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:因为,所以

又,所以数列的通项公式为。
评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而。
七、数学归纳法
例12 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由及,得

由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,

由此可知,当时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:令,则
故,代入得


因为,故
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得

评注:本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。

回答3:

这需要自己在做题中总结
如果我把方法全部给你说了
请问 你会懂吗?
你每每做一道题
就总结 这属于什么类型的数列
希望对你有帮助