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数学分析问题：（题目见图）这个级数收敛怎么讨论？尤其是p小于等于1的时候？求解答？

2025-05-20 19:21:20

推荐回答（4个）

回答1：

这个级数，当p>1时，
an的绝对值<=1/n^p
由比较判别法与p级数的收敛性，级数绝对收敛。
当0(1+1/n)^n单调有界（<3）,根据Abel判别法，级数条件收敛。
证明:级数sinnx/n^p 收敛。
sinnx的部分和有界，即
|求和｛k=1，n｝sinkx|<=1/2sin(x/2),x不=0或Pi；=0，x=0或Pi；
1/n^p单调收敛于0，根据Dirichlet判别法，级数sinnx/n^p 收敛。

回答2：

x = pi时，显然收敛。除此之外，用 limit comparison test, 于{1/n^p} 比较同收敛。p > 1时收敛，其它情况下发散。

回答3：

n趋于无穷大的时候，(1+1/n)^n=e，sin（nx）属于[-1,1]，因此n^p，在p>0时，趋于无穷大，求和的项收敛，否则不收敛。

回答4：

lwa1232011的回答已经解决了题主的疑问，并且得到了题主的采纳，为什么在我的主页还继续作为粉丝的求助放在第一条（被置顶）？