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已知{an}为等比数列,试探求Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列的条件

快注意题目，是成等比数列的条件！！！

2025-05-19 14:28:40

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回答1：

Sn = a1 * (q^n -1)/(q-1)
S2n = a1 * (q^2n -1)/(q-1)

S<(k-1)n> = a1 * [q^(k-1)n -1]/(q-1)
Skn = a1 * [q^(kn) -1]/(q-1)

S - S<(k-1)n>
=[a1/(q-1)]*[q^(kn) - q^(k-1)n]
= [a1/(q-1)] * q^[(k-1)n] * (q^n -1)
= [a1 * (q^n -1)/(q-1)] * q^[(k-1)n]
= Sn * (q^n)^(k-1)

从上面表达式已经可以直接看出, 它恰好为等比数列的通项公式
首项为 Sn, 公比为 q^n

因此 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n......成等比数列

*注意前提是q≠-1!
如果an的q＝－1就不是:
a1=a;a2=-a;a3=a...a≠0
则S1=a;S2-S1=0-a=-a;S3-S2=a-(-a)=2a
可以看出此时(S2-S1)/S1≠(S3-S2)/(S2-S1)
再如果公比是诸如a+bi的复数，也不一定是的