191问答库 > 设x,y,z∈R ,且x y z=1,试求f=x^4⼀(y(1-y^2))+ y^4⼀(z(1-z^2))+z^4⼀(x(1-x^2))的最小值

设x,y,z∈R ,且x y z=1,试求f=x^4⼀(y(1-y^2))+ y^4⼀(z(1-z^2))+z^4⼀(x(1-x^2))的最小值

是均值不等式这一块内容，答案里面是1⼀8,但没有过程，

2025-05-15 02:02:05

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回答1：

构造下凸函
f(s,t)=s^4/t(1-t^2)，则
f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)≥3f[(x+y+z)/3,(x+y+z)/3]
=3f(1/3,1/3)，
∴x^4/y(1-y^2)+y^4/z(1-z^2)+z^4/x(1-x^2)
≥3×[(1/3)^4/((1/3)×(1-(1/3)^2)]
=1/8，
故所求最小值为: 1/8。