解答：（1）解：∵圆x2+y2+
x?3y?6＝0与x轴交点坐标为A(?2
3
，0)，F2(
3
，0)，
3
∴a＝2
，c＝
3
，∴b=3，
3
∴椭圆方程是：
+x2 12
＝1．…（4分）y2 9
（2）证明：设点P（x，y），因为F1（-
，0），F2（
3
，0），
3
所以kPF1=tanβ=
，kPF2=tanα=y x+
3
，y x?
3
因为β-α=
，所以tan（β-α）=-2π 3
．
3
因为tan（β-α）=
=tanβ?tanα 1+tanαtanβ
，所以?2
y
3
x2+y2?3
=-?2
y
3
x2+y2?3
，
3
化简得x2+y2-2y=3，所以点P在定圆x2+y2-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴kQB?kQC=
?n?y′ m?x′
=?n?y′ ?m?x′
n2?y′2
m2?x′2
∵
+m2 12
＝1，n2 9
+x′2 12
＝1y′2 9
∴两式相减可得
+
m2?x′2
12
＝0
n2?y′2
9
∴
=?
n2?y′2
m2?x′2
3 4
∴kQB?kQC=?
…（12分）3 4
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