解答：（1）证明：∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°，∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，
，
AB＝AC ∠BAP＝∠CAQ AP＝AQ
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°，
∴CQ⊥BC；
（2）解：∠APB=90°时，点P为BC的中点，
∠BAP=90°时，点P与点C重合，
∵△ABP≌△ACQ，
∴点P为BC的中点或与点C重合时，△ACQ是直角三角形；
（3）解：BP=AB时，△ABP是等腰三角形，
AB=AP时，点P与点C重合，
AP=BP时，点P为BC的中点，
∵△ABP≌△ACQ，
∴点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时，△ACQ是等腰三角形．
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