191问答库 > ,在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD‖BC,∠ABC=90°，PA=AB=BC=1⼀2AD=a，求证PC垂直CD

,在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD‖BC,∠ABC=90°，PA=AB=BC=1⼀2AD=a，求证PC垂直CD

过程

2025-05-15 17:48:06

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回答1：

解：
∵PA⊥底面ABCD
∴∠PAC=∠PAD=90°
∵AD‖BC,∠ABC=90°,∠PAC=∠PAD=90°,PA=AB=BC=1/2AD=a
∴AC=a*sqrt(2),PC=a*sqrt(3),PD=a*sqrt(5),CD=a*sqrt(2)
∵AC*AC+CD*CD=5a^2=PD*PD
∴△PCD为一直角三角形，PD为斜边，∠PCD=90°
∵∠PCD=90°
∴PC⊥CD

回答2：

延长DC交AB于E，
∵AD‖BC,∠ABC=90°，
∴∠EAD=90°
∵AB=BC=1/2AD=a
∴易证∠ADC=45°，CD=a√2
∴△AED是等腰直角三角形
∴DE=2a√2
∴C是DE中点
∴AC⊥DE
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥DE
∴DE⊥面PAC
∴DE⊥PC