191问答库 > x+y+z=1 1⼀x+1⼀y+⼀1z=1 求证:x,y,z至少有一个为1

x+y+z=1 1⼀x+1⼀y+⼀1z=1 求证:x,y,z至少有一个为1

要详解好的大大加分

2025-05-17 17:00:49

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回答1：

做出来了。答案如下
设x≠1，则x=1-(y+z)

1/x+1/y+/1z=1/[1-(y+z)]+1/y+/1z=1

又 1/[1-(y+z)]+1/y+/1z=1/[1-(y+z)]+(y+z)/yz=1

(y+z)/yz=1-1/[1-(y+z)]

(y+z)/yz=-(y+z)/[1-(y+z)]

等式两端同时约去(y+z)

得 1/yz=1/[(y+z)-1]

对角相乘得

(y+z)-1=yz

所以 yz-y-z+1=0

因式分解得

(y-1)(z-1)=0

其中至少有一个为1。

又由于x+y+z=1 1/x+1/y+/1z=1 是轮换对称式，所以这个结论对于x,y,z都成立，所以得证。

(你可以设y或z不等于零，最后结果是一样的)。

PERIOD!