（1）∵f（x）=（x＞0）
∴f（x）＞可化为
＞，
即（x+1）＞k，
令f（x）=（x+1），
则f′(x)＝
| [1+ln(x+1)+1]x?x?1?(x+1)ln(x+1) |
| x2 |
=，
令h（x）=x-1-ln（x+1），
则h′(x)＝1?，
∵x＞0，
∴h′(x)＝1?＞0，
∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵f′（2）=＜0，f′（3）=＞0，
∴在（2，3）上存在x0使f′（x0）=0，
即ln（x0+1）=x0-1，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f(x)≥f(x0)＝(x0+1)
=x0+1，
∵3＜x0+1＜4，
∴正整数k的最大值是3．
（2）由（1）可知，（x+1）＞3，
∴ln(x+1)＞?1=2-＞2-．
∴ln（1+n（n+1））＞2-．
∴ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+ln（1+3?4）…+ln（1+n（n+1））
＞2-+2-+…+2-
=2n-3（++…+）
=2n-3（-+-+…+-）
=2n-3（1-）
＞2n-3．
∴（1+1?2）（1+2?3）（1+3?4）…（1+n（n+1））＞e2n-3．
