已知函数 f(x)= ln(1+x) x ．?（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；?（2）设h（x）=x?f

2025-05-12 14:37:07

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回答1：

（1）由已知函数求导得 f′(x)=

x+1

-ln(1+x)

x 2

设 g(x)=

x+1

-ln(1+x) ，则 g′(x)=

(x+1) 2

x+1

-x

(x+1) 2

＜0 ?
∴g（x）在（0，+∞）上递减，g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，+∞）上单调递减．?
（2）由h（x）=xf（x）-x-ax³ 可得，h（x）=ln（1+x）-x-ax³
h′(x)=

x+1

-1-3a x 2 =

-x(3a x 2 +3ax+1)

x+1

?
若a≥0，任给x∈（0，+∞），

x+1

-1＜0 ，-3ax² ＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，则f（x）在（0，2）无极值；?
若a＜0，h（x）=x?f（x）-x-ax³ 在（0，2）上有极值的充要条件是
φ（x）=3ax² +3ax+1在（0，2）上有零点，?
∴φ（0）?φ（2）＜0，解得 a＜-

综上所述，a的取值范围是（-∞， -

）．