191问答库 > 在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2，（1）求

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2，（1）求

2025-05-15 23:26:52

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回答1：

解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=

，AC=2，
取PC中点F，连AF，EF，
∵PA=AC=2，
∴PC⊥AF，
∵PA⊥平面ABCD，

平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，
∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，
∴PC⊥平面AEF，
∴PC⊥AE；
（2）取AD中点M，连EM，CM，
则EM∥PA，
∵EM

平面PAB，PA

平面PAB，
∴EM∥平面PAB，
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°，而∠BAC=60°，
∴MC∥AB，
∵MC

平面PAB，AB

平面PAB，
∴MC∥平面PAB，
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB，
∵EC

平面EMC，
∴EC∥平面PAB。
(3)由(1)知AC=2，EF=

CD，且EF⊥平面PAC，
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2

，得EF=

，
则V=

。

回答2：

(1)∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°,AB=1,
∴AC=2=PA,CD=2√3，AD=4,
PA⊥平面ABCD，
∴PC=2√2，PD=2√5，
取CD的中点F,连EF.
E是PD的中点，
∴EF∥=PC/2=√2，AF=√7，AE=PD/2=√5，
∴EF^2+AE^2=AF^2,
∴EF⊥AE,
∴PC⊥AE.
(2)作CG∥AD交AB延长线于G,取PA的中点H,连EH,GH.则
∠ACG=∠CAD=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴CG=AC=2,
∴EH∥=AD/2∥=CG,
∴四边形GCEH是平行四边形，
∴CE∥GH,
∴CE∥平面PAB.
(3)CE=GH=√5=AE=PE,
作EO⊥平面PAC于O,则
PO=AO=CO,
∴O是斜边PC的中点，
∴EO=CD/2=√3，
∴V=(1/3)*2*√3=2√3/3.

回答3：

【解答】：