191问答库 > 已知a为常数，函数f(x)=x(InX一ax)有两个极值点Ⅺ,X2则f(Xl)_0，f(X2)_一

已知a为常数，函数f(x)=x(InX一ax)有两个极值点Ⅺ,X2则f(Xl)_0，f(X2)_一

2025-05-20 10:20:31

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回答1：

解析：∵函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1当a=0时，f(x)=xlnx==> f’(x)=lnx+1=0==>x=1/e==> f(1/e)=-1/e
当a≠0时，f(x)=xlnx-ax^2==> f’(x)=lnx-2ax+1=0==>a=(lnx+1)/(2x)
设a(x)= (lnx+1)/(2x)
令a’(x)=-2lnx/(4x^2)=0==>x=1
当00，当x>1时，a’(x)<0，∴a(x)在x=1处取极大值1/2
又∵x→+∞时，a(x)→0
∴当0即函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1当0x2时，f’(x)<0，当x10
函数f(x)在x1处取极小值，在x2处取极大值
又∵当a=1/2时，f’(x)=lnx-x+1=0==>x=1==> f(1)=-1/2
当a=0时，f(x)在x=1/e处取极小值f(1/e)=-1/e
∴函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1-1/2

所以f(x1)<0 f(x2)>-1/2