（Ⅰ）∵
＝an an+1
4an+2
an+1+2
∴anan+1+2an=4anan+1+2an+1，
即2an-2an+1=3anan+1，
所以
?1 an+1
＝1 an
3 2
所以数列{
}是以1 an
为首项，公差为5 2
的等差数列． 3 2
（II）由（Ⅰ）可得数列{
}的通项公式为1 an
＝1 an
，所以an＝3n+2 2
2 3n+2
∴ak?ak+1＝
?2 3k+2
＝2 3(k+1)+2
=4 9k2+21k+10
． 2 3?
+23k2+7k+2 2
因为
＝k2 +3k+1+3k2+7k+2 2
k(k+1) 2
当k∈N*时，
一定是正整数，所以k(k+1) 2
是正整数．3k2+7k+2 2
所以ak-ak+1是数列{an}中的项，是第
项． 3k2+7k+2 2
（Ⅲ）证明：由（II）知：an＝
，bn＝2 3n+2
(2 3
+5)＝1 an
(2 3
+5)＝n+4．3n+2 2
下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．
（1）当n=1时，显然25＞52，不等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，
当n=k+1时，2（k+1）+4=2?2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2
即有：2bn+1＞bn+12也成立．
综合（i）（ii）知：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．
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