解答：（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D是AC的中点．
（2）证明：连接OD，
∵D为AC中点，AO=BO，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：∵在Rt△CDB中，∠ADB=∠CDB=90°∠C=30°，CD=
，
3
∴DE=
，CE=
3
2
×
3
2
=
3
，∠CBD=60°，3 2
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=DE×tan30°=
，1 2
∴AB=BC=BE+CE=
+1 2
=2，3 2
在Rt△哦、ODE中，OD=
AB=1，DE=1 2
，由勾股定理得：OE=
3
2
=
12+(
)2
3
2
．
7
2
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