设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（

2025-03-15 09:28:54

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回答1：

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+

，其定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

x?e

令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．
故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+

=2．
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-

3x?3m?x3

3x2

，其定义域为（0，+∞）．
令g（x）=0，得m=-

x³+x．
设h（x）=-

x³+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数．
h′（x）=-x²+1=-（x+1）（x-1）

故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=

．

作出h（x）的图象，
由图象可得，
①当m＞

时，g（x）无零点；
②当m=

或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；
③当0＜m＜

时，g（x）有两个零点．