已知函数f（x）= 1 2 m（x-1） 2 -2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间

2025-05-17 15:00:58

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回答1：

（1）当m=0时，函数f（x）=-2x+3+lnx
由题意知x＞0，f′（x）=-2+

-2x+1

，令f′（x）＞0，得0＜x＜

时，
所以f（x）的增区间为（0，

）．
（2）由f′（x）=mx-m-2+

，得f′（1）=-1，
知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=-x+2，
于是方程：-x+2=f（x）即方程

m（x-1）² -x+1+lnx=0有且只有一个实数根；
设g（x）=

m（x-1）² -x+1+lnx，（x＞0）．
则g′（x）=

m x 2 -(m+1)x+1

(x-1)(mx-1)

，
①当m=1时，g′（x）=

(x-1)(x-1)

≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；
②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜

或x＞1，
由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

＜0得

＜x＜1，
故g（x）在区间（0，

），（1，+∞）上单调递增，在（ 1，

）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→-∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；
③当0＜m＜1时，由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

＞0得0＜x＜1或x＞

，
由g′（x）=＜0得1＜x＜

，
故g（x）在区间（0，1），（1，

）上单调递增，在（

，+∞）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意；
∴由上述知：m=1．