191问答库 > 设 (3x- x ) n 的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展

设 (3x- x ) n 的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展

2025-05-20 21:42:32

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回答1：

根据题意， (3x-

) n 的展开式的通项为T_r+1 =C_n ^r ?（3x）^n-r ?（-

）^r =（-1）^r C_n ^r ?3^n-r ? x n-

；
则第r+1项系数的绝对值为|T_r+1 |=C_n ^r ?3^n-r ，
M=C_n ⁰ ?3ⁿ +C_n ¹ ?3^n-1 +C_n ² ?3^n-2 +…+C_n ⁿ ?3⁰ =（3+1）^r =4ⁿ ，
其展开式的二项式系数之和为N=2ⁿ ，
又由M-N=240，可得4ⁿ -2ⁿ =240，
解可得2ⁿ =16，则n=4；
则 (3x-

) n 的展开式的通项为T_r+1 =（-1）^r C₄ ^r ?3^4-r ? x

8-3r

；
分析可得，r=0、2、4时，T_r+1 为有理项，
则展开式中x的有理项的项数为3；
故选C．