①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，故①不正确．②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故②不正确．③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．因此③不正确．④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故④正确．综上可知只有④是真命题．故选A．
