191问答库 > （2014?梅州二模）已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图

（2014?梅州二模）已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图

2025-05-12 21:42:11

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回答1：

解答：解：（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）
且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）
又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC
∴PE²=PC²-CE²=3（3 分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）
可得PA²=PE²-AE²=2，即PA＝

（5 分）
因此，正视图的面积为S＝

×2×

＝

（6 分）
（2）由（1）可知，四棱锥P-ABCD的高为PA，PA＝

，（7 分）
底面积为S＝

AD+BC

?CD＝

1+2

×1＝

（8分）
∴四棱锥P-ABCD的体积为VP?ABCD＝

S?PA＝

＝

（10 分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）
∵在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=2，在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²=2（12 分）
∴BC²=4=AA²+AC²，可得△BAC是直角三角形（13 分）
∴AC⊥AB．
由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）