（I）证明：由已知可得：（an+1+an）（an+1-an）-2（an+1+an）=0
∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵an＞0
∴an+1+an＞0
∴an+1-an=2
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列（4分）
（II）解：由（I）知an=1+2（n-1）=2n-1
∴Cn+1-Cn=2n+1
当n≥2时，Cn=（Cn-Cn-1）+（Cn-1-Cn-2）+…+（C3-C2）+（C2-C1）+C1
=（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1
=
＝n2n(1+2n?1) 2
当n=1时，C1＝1＝12适合上式
∴Cn＝n2（8分）
（III）解：∵bn＝
=an+1 2n
2n+1 2n
∴Tn=b1+b2+…+bn
∴Tn=
+3 2
+…+5 22
+2n?1 2n?1
①2n+1 2n
Tn=1 2
+3 22
+…+5 23
+2n?1 2n
②2n+1 2n+1
①-②可得，
Tn=1 2
+3 22
+…+2 23
?2 2n
2n+1 2n+1
=
+2×3 2
(1?1 4
)1 2n?1 1
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