解答如下
第一问
x^2+y^2+2x-6y+1=0
(x+1)^2+(y-3)^2=9
即这是一个以点(-1,3)为圆心,3为半径的圆
所以圆心到直线l的距离为3,即
|-1+3m-3|/√(1+m^2)=3
解得m=7/24
第二问
因为向量OA*向量OB=0,即OA⊥OB
由x+my=3可得x=3-my,将其代入圆的方程可得
(3-my)^2+y^2+2(3-my)-6y+1=0
整理得(m^2+1)y^2-(8m+6)y+16=0
设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2)
则y1+y2=(8m+6)/(m^2+1)
y1*y2=16/(m^2+1)
所以OA与OB的斜率的积为
(y1/x1)*(y2/x2)
=(y1*y2)/(x1*x2)
=(y1*y2)/[(3-my1)*(3-my2)]
=(y1*y2)/[9-3m(y1+y2)+m^2y1*y2]
=[16/(m^2+1)]/[9-3m*(8m+6)/(m^2+1)+16m^2/(m^2+1)]
=-1
整理得m^2-18m+25=0
因为判别式△=(-18)^2-4*25=224>0
解得m=9±4√14
即方程有解,也就说存在实数m能满足OA与OB的斜率的积为-1
即可以满足题意
第二问的数字自己在慢慢算下吧,我没验算
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(x+1)∧2+(y-3)∧2-1-9+1=0 解得圆的园点为(-1.3)半径为3 .根据点到直线的公式可以求出!