用柯西不等式证明问题

此题不用柯西不等式也可以证明，且较为简洁。 证明： ∵x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)≥ 3(X^2+Y^2+Z^2)/[2(X^2+Y^2^+Z^2)+XZ+YZ+XY] 而X^2+Y^2≥2XY X^2+Z^2≥2XZ Y^2+Z^2≥2YZ 叠加即得XZ+YZ+XY≤X^2+Y^2+Z^2 ∴原不等式≥3(X^2+Y^2+Z^2)/[2(X^2+Y^2^+Z^2+XZ+YZ+XY]≥3(X^2+Y^2+Z^2)/[2(X^2+Y^2^+Z^2)+X^2+Y^2+Z^2]=1

楼上可以看看用柯西是否更加简洁:)证明:x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy) =x^4/(x^2y^2+x^2z^2+x^2yz)+y^4/(y^2z^2+x^2y^2+y^2zx)+z^4/(x^2z^2+y^2z^2+z^2xy) >=(x^2+y^2+z^2)^2/(2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+x^2yz+y^2zx+z^2xy)<=>(x^2+y^2+z^2)^2>=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+x^2yz+y^2zx+z^2xy<=>x^4+y^4+z^4>=x^2yz+y^2zx+z^2xy此式可以利用均值不等式两轮或一轮得到.两轮就留给楼主思考吧,下面给出一轮的一个很美妙的证明:<=>(局部不等式)x^4/4+x^4/4+y^4/4+z^4/4>=x^2yzEND.

因x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=(x-y)^2/2+(y-z)^2/2+(x-z)^2/2≥0
即x^2+y^2+z^2≥xy+xz+yz（当x=y=z时等式成立）
xy+xz+yz=(2xy+2xz+2yz)/2=[x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)]/2
=[x(2-x)+y(2-y)+z(2-z)]/2=[2x+2y+2z-(x^2+y^2+z