191问答库 > 已知函数f（x）= lnx+a x （a∈R）（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（

已知函数f（x）= lnx+a x （a∈R）（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（

2025-05-17 14:09:06

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回答1：

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数 f′(x)=

1-(lnx+a)

x 2

，
令f′（x）=0得x=e^1-a ，
当x∈（0，e^1-a ）时，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数；
当x∈（e^1-a ，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是减函数；
∴f（x）在x=e^1-a 处取得极大值，f（x）_极大值 =f（e^1-a ）=e^a-1 ，无极小值．
（Ⅱ）①当e^1-a ＜e² ，即a＞-1时，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e^1-a ）上是增函数，在（e^1-a ，e² ）上是减函数，
∴ f(x ) max =f( e 1-a )= e a-1 …（7分）
∵若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e² ]上有公共点，
∴e^a-1 ≥1
∴a≥1
∵a＞-1，∴a≥1
②当e^1-a ≥e² ，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e² ]上是增函数，
∴f（x）在区间（0，e² ]上的最大值为f（e² ）=

2+a

e 2

∴原问题等价于

2+a

e 2

≥1
∴a≥e² -2
∵a≤-1，∴无解
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）证明：令a=1，由（Ⅰ）知，

lnx+1

≤1(x＞0) ，∴lnx≤x-1，
∵a₁ =1，假设 a k ≥1(k∈ N * ) ，则a_k+1 =lna_k +a_k +2＞1，故 a n ≥1(n∈ N * )
从而a_n+1 =lna_n +a_n +2≤2a_n +1
∴ 1+ a n+1 ≤2(1+ a n )≤…≤ 2 n (1+ a 1 )
即 1+ a n ≤ 2 n ，
∴ a n ≤ 2 n -1 ．