191问答库 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有Sn=2n+1-2；（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有Sn=2n+1-2；（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（

2025-05-15 04:54:20

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回答1：

解答：（本题满分14分）
解：（1）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，∴当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，…（1分）
∴当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝(2n+1?2)?(2n?2)＝2n+1?2n＝2n，…（4分）
当n=1时，a1＝S1＝22?2＝2，符合上式，…（5分）
∴数列{a_n}的通项公式为an＝2n．（n∈N^*）…（6分）
（2）解：由（1）得b_n=（3n-1）?a_n=（3n-1）?2ⁿ，…（7分）
∴{b_n}的前n项和T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①…（8分）
2T_n=2×2²+5×2³+8×2⁴+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②…（9分）
由①-②得，
?Tn＝2×2+3×22+3×23+…+3×2n-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6(1?2n)

1?2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8，…（13分）
∴Tn＝(3n?4)×2n+1+8…（14分）