191问答库 > 在等比数列{a n }中，a n ＞0（n∈N * ），公比q∈（0，1），且a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 =25，又a 3

在等比数列{a n }中，a n ＞0（n∈N * ），公比q∈（0，1），且a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 =25，又a 3

2025-05-13 11:58:36

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回答1：

（1）∵a₁ a₅ +2a₃ a₅ +a₂ a₈ =25，
∴a₃ ² +2a₃ a₅ +a₅ ² =25，
∴（a₃ +a₅ ）² =25，
又a_n ＞0，∴a₃ +a₅ =5，
又a₃ 与a₅ 的等比中项为2，
∴a₃ a₅ =4．
而q∈（0，1），
∴a₃ ＞a₅ ，∴a₃ =4，a₅ =1，
∴q=

，a₁ =16，∴a_n =16×（

）^n-1 =2^5-n ．
（2）∵b_n =log₂ a_n =5-n，∴b_n+1 -b_n =-1，
b₁ =log₂ a₁ =log₂ 16=log₂ 2⁴ =4，
∴{b_n }是以b₁ =4为首项，-1为公差的等差数列，
∴S_n =

n(9-n)

．
（3）由（2）知S_n =

n(9-n)

，∴

S n

9-n

．
当n≤8时，

S n

＞0；当n=9时，

S n

=0；
当n＞9时，

S n

＜0．
∴当n=8或9时，

S 1

S 2

S 3

S n

=18最大．
故存在k∈N^* ，使得

S 1

S 2

S n

＜k对任意n∈N^* 恒成立，k的最小值为19．