解：（1）∵E，I分别是AB，AA1的中点，
∴EI∥BA1，
∵EI?平面A1BD，BA1?平面A1BD，
∴EI∥平面A1BD，
取BA1的中点G，连接EG，DG，
∴GE平行且等于
AA1，1 2
∵D是CC1中点，
∴CD平行且等于
AA1，1 2
∴GE平行且等于CD，
∴四边形GDCE是平行四边形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A1BD，GD?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD，
∵CE∩EI=E，
∴平面A1BD∥面CEI；
（2）∵AA1⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA1⊥CE
又△ABC等边三角形，E是中点，
∴CE⊥AB，CE＝
AB＝
3
2
3
所以CE⊥面AA1B，
连接EH，则∠EHC为CH与平面AA1B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC＝
＝CE EH
，
3
EH
所以EH最短时∠EHC最大
此时，EH⊥A1B，
∴tan∠EHC＝
＝CE EH
＝
3
EH
，∴EH＝
15
2 2
5
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