a/sinpf1f2=c/sinpf2f1
c/a=sinpf2f1/sinpf1f2
而由正弦定理知：sinpf2f1/sinpf1f2=|pf2|/|pf1|
所以，e=c/a=|pf2|/|pf1|
|pf1|+|pf2|=2a
所以，(e+1)|pf1|=2a
|pf1|=2a/(e+1)
|pf2|=e|pf1|=2ae/(e+1)
而：||pf1|-|pf2||≤|f1f2|=2c
所以。2a(1-e)/(e+1)≤2c
(1-e)/(1+e)≤e
e^2+2e-1≥0,e>0
所以，e≥√2-1
椭圆离心率的范围是:[√2-1,1)
显然P是短轴顶点时∠F1PF2最大
此时P(0,b)
F1(-c,0)
由勾股定理
PF1=PF2=√(b²+c²)=a
F1F2=2c
因为∠F1PF2是钝角
所以cos∠F1PF2<0
则在三角形PF1F2中
cos∠F1PF2=(a²+a²-4c²)/2a²<0
即2a²-4c²<0
2c²>a²
c²/a²>1/2
e=c/a
所以√2/2
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