如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，CA=1，CD是⊙O半径的 3倍． （1）求⊙O的半径R

解：（1）圆的切割线定理，求得圆的半径。
　　　CD的平方＝CA*CB
　　　（3R）的平方＝1*（1+2R），解得R＝（1+根号10）/9
　　（2）阴影面积由弓形面积与三角形的面积组合而成，在动点变化的过程中，弓形面积保持不变，而三角形的面积由于同底等高也保持不变，所以阴影面积保持不变。
　　　　既然保持不变，那么选取最简单的特殊情况求取面积值，即阴影为扇形时，即Q点到圆心O。在直角三角形OCD中，角AOD的正切值为CD/OD＝3R/R＝3，则角AOD＝反正切值3所代表的角度＝arctg3=角BOE，则角DOE＝派-2arctg3
　　　　所以扇形DOE的面积S＝弧DE*R＝圆心角的弧度数*半径的平方
　　　　　　　　　　　　　　＝（派-2arctg3）*（1+根号10）的平方/81

因为CD是圆O的切线，可以直接想到把原点o与D相连
可以得到三角形ODC为直角三角形
并且可以知道，CD=3OD=3OA,AC=1
假设半径R=x，那么在RT三角形COD中使用勾股定理可以得到
(OA+AC)^2=OD^2+CD^2即（x+1）^2=x^2+(3x)^2
解出方程x就是半径了

连接OD，
因为CD是圆O的切线，所以OD垂直于CD
在直角三角形OCD中
OD=R CD=3R OC=1+R
由勾股定理，得
R²+（3R)²=(1+R)²
9R²-2R-1=0
R=(2±√40)/18=(1±√10)/9
因为R>0,所以 R=（1+√10）/9

（1）证明：连接OD．
∵直线CD与⊙O相切与点D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°． （2分）
又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD． （3分）
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B． （4分）

（2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°． （5分）
∵BD：AB= ，
∴ ，
∴∠B=30°． （6分）
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°． （7分）
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°= ，
即⊙O的半径为 ． （8分）
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5． （9分）
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF= DF．
∴DF=2DE=10． （10分）

解：连接OD，由于CD切⊙O于点D，所以OD垂直于CD
即OD=OA
在直角三角形ODC中，
（CD）2+（OD）2=（OC）2, 勾股定理
所以，（3OD）2+（OD）2=（AC+AO）2
10（OD）2=1+（OD）2+2（OD）
OD=(1+√10)/9