解：（1）连结OD，设⊙O的半径为R，如图，
∵⊙O切BC于点D，
∴OD⊥BC，
在Rt△ABC，AC=6，BC=6
，
3
∴AB=
=12，
AC2+BC2
∴∠B=30°，
在Rt△OBD中，OB=2OD=2R，
而AB=OA+OB=R+2R=3R，
∴3R=12，
∴R=4，
即⊙O的半径为4；
（2）连结OE，OD交EF于H，如图，
∵AF为⊙的直径，
∴∠AEF=90°，
而∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠EFA=∠B=30°，OD⊥EF，
∴EH=FH，∠EOF=120°，
在Rt△OHF中，OF=4，OH=
OF=2，HF=1 2
OH=2
3
，
3
∴EF=2HF=4
，
3
∴弓形EDF的面积=S扇形OEF-S△OEF
=
-120?π?42
360
?41 2
?2
3
=
-416π 3
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