已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，bn=(3n-...

解答:解:∵a1=1，an+1=
an
an+3
，
∴两边取倒数，得
1
an+1
=1+
3
an
，
令
1
an+1
+t=3(
1
an
+t)即t=
1
2
，
∴
1
an
+
1
2
=(
1
a1
+
1
2
)•3n-1=
3n
2
，
∴an=
2
3n-1
，
∵bn=(3n-1)•
n
2n
•an
∴bn=n•(
1
2
)n-1
∴Tn=1•(
1
2
)0+2•(
1
2
)1+3•(
1
2
)2+…+n•(
1
2
)n-1
1
2
Tn=1•(
1
2
)1+2•(
1
2
)2+3•(
1
2
)3…+n•(
1
2
)n
相减得
1
2
Tn=1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-1-n•(
1
2
)n
=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
-n•(
1
2
)n
∴Tn=4[1-(
1
2
)n]-2n•(
1
2
)n=4-(
1
2
)n•(2n+4)
当n为偶数时，λ＜4-(
1
2
)n•(2n+4)+
n
2(n+1)
恒成立，
∵
n
2(n+1)
=
1
2(1+
1
n
)
递增，-(
1
2
)n•(2n+4)也为递增，
∴
n
2(n+1)
-(
1
2
)n•(2n+4)递增，
∴当n=2时
2
2×3
-
1
4
×8=-
5
3
即λ＜
7
3
，
当n为奇数时-λ＜4-(
1
2
)n•(2n+4)+
n
2(n+1)
恒成立，
即-λ＜4-
1
2
×6+
1
4
即λ＞-
5
4
∴λ的取值范围是(-
5
4
，
7
3
).