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求极限：当n→∞时，lim（√（n+3*√n）—3次根下（n-√n））

2025-05-17 19:06:26

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回答1：

lim（√（n+3*√n）—3次根下（n-√n））
=lim【√n （1+3/√n)^(1/2)—(n)^(1/3) *（1-1/√n)^(1/3)】
=lim(x->0+)【1/x* [(1+3x)^(1/2)] - (1/x)^(2/3)* [(1-x)^(1/3)】令1/√n=x, 当n→∞时,x->0+
=lim(x->0+)【1/x*[(1+(3/2)x+O(x²)] -(1/x)^(2/3)* [1-(1/3)x+O(x²)】（泰勒展开）
=lim(x->0+)【 1/x- (1/x)^(2/3) +3/2 + O(x)^(1/3) 】
lim(x->0+)【 1/x- (1/x)^(2/3)】->∞
所以，原式=无穷大

回答2：

此题错了，按原题为＋∞