这两道题 高等数学定积分

解：分享一种解法，转化成无穷级数、利用“∑1/(n+1)^2=(1/6)π^2，n=0,1,2,……，∞”求解。【计算过程中，设a=(1/6)π^2】。
第1题，设e^(-x)=t，dx=-dt/t，∴原式=-∫(0,1)[(1+t)/(1-t)]lntdt。又，丨t丨<1时，1/(1-t)=∑t^n，n=0,1,2,……，∞。
∴原式=-∑∫(0,1)[t^n+t^(n+1)]lntdt。用分部积分法，有∫(0,1)(t^n)lntdt=-1/(n+1)^2、同理，∫(0,1)[t^(n+1)]lntdt=-1/(n+2)^2，
∴原式=∑[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2]=a+a-1=(1/3)π^2-1。
第2题，仿第1题求解过程，设e^(-x)=t，利用“丨t丨<1时，1/(1+t^3)=∑[(-1)^n]t^(3n)，n=0,1,2,……，∞。”
∴原式=-∑[(-1)^n]∫(0,1)[t^(3n)-t^(3n+1)]lntdt=∑[(-1)^n][1/(3n+1)^2-1/(3n+2)^2]。
而，对∑[(-1)^n][1/(3n+1)^2-1/(3n+2)^2]，补充“∑1/(3n+3)^2=a/9”、再“凑合”，有=∑[(-1)^n][1/(3n+1)^2-1/(3n+2)^2]=a-(2/2^2)(a-a/9)-a/9=4a/9。
∴原式=4a/9=(2/27)π^2。供参考。

不是所有不定积分都能找到原函数。所以这个题根本没法找到原函数。形如sinx/x，或者e^x²这类的都找不到原函数。这个题就是第一种。
但是对于定积分而言，如果非要计算结果（比如计算机内部程序计算一个积分），计算方法有很多，最简单的方法就是通过公式将被积函数线性转化成幂函数进行计算。转化公式最简单的是之后就要学的泰勒公式展开；但是这个泰勒公式实在是又臭又长，所以后来又会学到各种近似公式，如插值公式-拉格朗日插值公式、牛顿插值公式等等。如果感兴趣，可以读个研究生，学一下相关的计算，还挺有意思。