解答：（1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=
+b．a x
∵直线x-2y-2=0的斜率为
，且曲线y=f（x）过点（1，-1 2
），1 2
∴
，即
f(1)＝?
1 2
f′(1)＝
1 2
，解得a=1，b=-
b＝?
1 2 a+b＝
1 2
．1 2
所以 f（x）=lnx-
．x 2
（2）解：由（1）得当x＞1时，f（x）+
＜0恒成立即 lnx-k x
+x 2
＜0，k x
等价于k＜
?xlnx．x2 2
令g（x）=
?xlnx，则g′（x）=x-（lnx+1）=x-1-lnx．x2 2
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-
=1 x
．x?1 x
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=
．1 2
因此，当x＞1时，k＜
?xlnx．恒成立，则k≤x2 2
．1 2
∴k的取值范围是（-∞，
]．1 2
（3）证明：由（2）知，当x＞1时，f（x）＜0（k=0），
又 x=1时f（x）＜0也成立，
所以当x≥1时，lnx＜
，于是x 2
ln1＜
，ln2＜1 2
，ln3＜2 2
，…，lnn＜3 2
，n 2
上述各式相加得，ln（1×2×3×…×n）＜
，1+2+3+…+n 2
即lnn!＜
，∴n!＜en(n+1) 4
．n(n+1) 4
求函数解析式的方法一般就是通过建立方程把其中的参数解出来。
本题中，要确定的是a和b。
函数y=f(x)在点（1，f(1))处的切线方程已经给出，那就可以表示出过该点的切线方程的斜率，这个斜率是函数在该点的导数，这样就建立了一个方程。
那个点也是在切线上的，这样就又建立一个方程。
由以上两个方程构成方程组，就可以解出a和b。
对f(x)求导，得f'(x)=a/x+b, f'(1)=a+b
由切线方程知，k=1/2
所以，有a+b=1/2 (1)
由题意知，f(1)=aln1+b=b, 代入切线方程，得1-2b-2=0 ，即b=-1/2 (2)
将（2）代入（1）得a=1
f(x)=lnx-x/2
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