191问答库 > 设函数y=f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1⼀3）=1

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1⼀3）=1

如果f(x)+f(2/3-x)小于等于2，求x的值

2025-05-19 15:26:50

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回答1：

令x=y=1
则xy=1
f（xy）=f（x）+f（y）
所以f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

f(x)+f(2-x)<2
f(x)+f(y)=f(xy)
所以f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]
f(1/3)=1
2=f(1/3)+f(1/3)=f(1/3*1/3)
所以f[x(2-x)]f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数
所以x(2-x)>1/3*1/3
x^2-2x+1/9<0
9x^2-18x+1<0
所以(3-2√2)/3且有定义域x>0
所以(3-2√2)/3

回答2：

因为f(1/3)=1且f（xy）=f（x）+f（y），所以f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2，f(x)+f(2/3-x)=f(x(2/3-x))，因为y=f（x）是定义在（0，+∞)，所以由f(x)+f(2/3-x)小于等于2可得x(2/3-x)大于等于1/9，解不等式得x大于等于1/3且小于等于1/3，所以x=1/3