如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1垂直平面abc.ac垂直bc,ac=bc=cc1=2

2025-05-17 18:39:27
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回答1:

如图已知在三棱柱ABC--A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;(2)求证:PC1‖面MNQ;(3)若的余弦值.证明:(1)∵AC=BC, P是AB的中点 ∴AB⊥PC∵AA1⊥面ABC,CC1‖AA1,∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内∴CC1⊥AB, ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面PCC1; 又∵M、N分别是AA1、BB1的中点,四边形AA1B1B是平行四边形,MN‖AB,∴MN⊥面PCC1 ∵MN在平面MNQ内,∴面PCC1⊥面MNQ; 4分 (2)连PB1与MN相交于K,连KQ,∵MN‖PB,N为BB1的中点,∴K为PB1的中点.又∵Q是C1B1的中点∴PC1‖KQ 而KQ平面MNQ,PC1平面MNQ∴PC1‖面MNQ. 9分 (3)由不妨设以点P为坐标原点PA所在直线为x轴,平面内直线AB的垂直平分线为y轴,PC所在直线为z轴建立空间直角坐标系。则可求得各点的坐标为,.平面MNQ的一个法向量为,平面的一个法向量为