191问答库 > 设函数f=(x)的定义域为(0.+∞),且对任意的正实数x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,且当x>1,f(x)<0

设函数f=(x)的定义域为(0.+∞),且对任意的正实数x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,且当x>1,f(x)<0

判断：y=f（x）的单调性

2025-05-15 12:39:53

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回答1：

设a>b>0
f(a)-f(b)=f(a-b+b)-f(b)
=f(b(1+(a-b)/b)-f(b)=f(b)+f(1+(a-b)/b)-f(b)
=f(1+(a-b)/b)<0
y=f（x）单减

回答2：

答：
f(xy)=f(x)+f(y)，x>0，y>0
令x=y=1：f(1)=2f(1)，f(1)=0

当x>1时，0<1/x<1：f(1/x)=-f(x)>0
当00

令0f(x)
因为x²
令x=y>1：f(x²)=2f(x)因为x²>x，所以：f(x)单调减。

综上所述，f(x)是单调减函数。