首先，公司不与员工签订劳动合同，是违反《劳动法》等相关法律法规的。公司需要承担相应的法律责任。比如《劳动法》第九十八条规定，用人单位违反本法规定的条件解除劳动合同或者故意拖延不订立劳动合同的，由劳动行政部门责令改正；对劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。
根据法律规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
要证明跟用人单位之间存在劳动关系，可以保留一切相关的证据，比如微信聊天记录、邮件记录、短信、转账记录、工作内容记录等都可以。
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