设二次型f(x,y,z)=2x^2+3y^2+3z^2+4yz证明该二次型为正定二次型，求作一正交变换Y=PX，把该二次型化为标

解: 二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3

|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).

所以 A 的特征值为 1,2,5.

A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.

A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1

r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3

r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1

(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.

A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2

r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0

(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.

a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'

令 Q = (b1,b2,b3), 则 Q 是正交矩阵, 且
Q^-1AQ = diag(1,2,5).
故 X=QY 是正交变换, 满足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.