191问答库 > 设函数f（x）=（x2+mx）e-x（m∈R）（e为自然对数的底）．（1）求证：f（x）在R上不是单调函数．（2）若f

设函数f（x）=（x2+mx）e-x（m∈R）（e为自然对数的底）．（1）求证：f（x）在R上不是单调函数．（2）若f

2025-05-03 11:03:45

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回答1：

（1）f′（x）=（2x+m）e^-x-（x²+mx）e^-x=[-x²+（2-m）x+m]e^-x，
假设f（x）在R上是单调函数，
∵e^-x＞0，
函数g（x）=-x²+（2-m）x+m开口向下，△=（2-m）²+4m=m²+4＞0，
∴g（x）恒小于零不成立，∴f′（x）＜0不恒成立，
因此假设错误，故f（x）在R上不是单调函数．
（2）∵f（x）=2，∴x²+mx=2e^x，m=

2ex

-x，
令h（x）=

2ex

-x，则h′（x）=

2ex(x?1)?x2

，
∵x∈（0，2），∴h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，2）上单调递减，
∴m＞h（2）=e²-2，
∴f（x）=2在（0，2）内有解，m的取值范围是（e²-2，+∞）．