191问答库 > 已知等差数列{an}满足：a3=5，a5+a7=22．{an}的前n 项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝2n?1an(n∈N*

已知等差数列{an}满足：a3=5，a5+a7=22．{an}的前n 项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝2n?1an(n∈N*

2025-05-15 18:53:24

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回答1：

（1）在等差数列中，∵a₃=5，a₅+a₇=22．
∴

a1+2d＝5

2a1+10d＝22

，解得

a1＝1

d＝2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=n²．
（2）∵bn＝2n?1an(n∈N*)，
∴bn＝(2n?1)?2n?1，
∴T_n=1+3?2+5?2²+…+（2n-1）?2^n-1，①
∴2T_n=2+3?2²+5?2³+???+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，②，
两式相减得?Tn＝1+2(2+22+???+2n?1)?(2n?1)2n＝1+2?

2?2n

1?2

?(2n?1)2n=1+2（2ⁿ-2）-（2n-1）2ⁿ，
∴Tn＝(2n?3)2n+3．