191问答库 > 数列{an}中，a1=a2=1，当n∈N*时，满足an+2=an+1+an，且设bn=a4n．求证：数列{bn}各项均为3的倍数

数列{an}中，a1=a2=1，当n∈N*时，满足an+2=an+1+an，且设bn=a4n．求证：数列{bn}各项均为3的倍数

2025-05-17 08:53:17

推荐回答（1个）

回答1：

证明：（1）∵a₁=a₂=1，故a₃=a₁+a₂=2，a₄=a₃+a₂=3，
∴b₁=a₄=3，即当n=1时，b₁能被3整除．
（2）假设n=k时，即b_k=a_4k是3的倍数．
则n=k+1时，
b_k₊₁=a_4（k+1）=a_（4k+4）=a_4k+3+a_4k+2
=a_4k+2+a_4k+1+a_4k+1+a_4k
=3a_4k+1+2a_4k．
由归纳假设，a_4k是3的倍数，故可知b_k₊₁是3的倍数．
∴n=k+1时命题正确．
综合（1）（2），可知对任意正整数n，数列{b_n}的各项都是3的倍数．