如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,M是OB的中点,连结AM,并延长到点P

连接BP，PC。
因为 M是AP中点，O是AC中点（平行四边形对角线相互平分）
所以，MO//PC ,且 2|MO|=PC，
又因为 |BO|=2|MO|，所以BOPC是平行四边形，
所以 ON//BP,O是BP中点，所以ON是三角形DBP的一条中线，
所以 N是PD中点。
同理 2|ON|=|BP|,又因为BOPC是平行四边形，则|BP|=|OC|
所以 2|ON|=|OC|,所以N是OC 的中点，MN是三角形OBC的一条中线，
所以 2|MN|=|BC|

三角形OMN的底是三角形OBC的一半 2|MN|=|BC|；
高也是一半 （MN是中线，MN//BC)
所以面积是1/4

证明:

(1) 设H为OC的中点，G为PD的中点，连接MH，MG
三角形中位线定理得：
MG=1/2AD MG‖AD----1式

在三角形OBC中，MH为中位线，由MH ‖BC 因此：
三角形OMH与三角形ODA相似 又因为OM：OD=1:2
可知 MH=1/2AD MH ‖AD-----2式

由1式和2式，可知： 点G和点H重合，
且既在AC上又在PD上，即为AC与PD的交点

也就是说点G与点H即为点N，
因此 N是PD的中点

(2)三角形OBC中，MN为中位线，因此， 三角形OBC与三角形OMN相似，且MN=1/2BC

相似三角形的面积比=对应边的平方比，所以：

S三角形OBC：S三角形OMN=BC的平方：MN的平方
=4：1

因此：S三角形OBC=4S三角形OMN