191问答库 > 记等差数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 2 +a 4 =6，S 4 =10．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n

记等差数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 2 +a 4 =6，S 4 =10．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n

2025-05-13 18:25:59

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回答1：

（Ⅰ）设等差数列{a_n }的公差为d，由a₂ +a₄ =6，S₄ =10，
可得

2 a 1 +4d=6

4 a 1 +

4×3

d=10

，（2分），
即

a 1 +2d=3

2 a 1 +3d=5

，
解得

a 1 =1

d=1

，（4分）
∴a_n =a₁ +（n-1）d=1+（n-1）=n，
故所求等差数列{a_n }的通项公式为a_n =n．（5分）
（Ⅱ）依题意，b_n =a_n ?2ⁿ =n?2ⁿ ，
∴T_n =b₁ +b₂ ++b_n =1×2+2×2² +3×2³ ++（n-1）?2^n-1 +n?2ⁿ ，（7分）
又2T_n =1×2² +2×2³ +3×2⁴ +…+（n-1）?2ⁿ +n?2ⁿ⁺¹ ，（9分）
两式相减得-T_n =（2+2² +2³ ++2^n-1 +2ⁿ ）-n?2ⁿ⁺¹ （11分）=

2(1- 2 n )

1-2

-n? 2 n+1 =（1-n）?2ⁿ⁺¹ -2，（12分）
∴T_n =（n-1）?2ⁿ⁺¹ +2．（13分）