过点P(1,3)的动直线交圆C:x2+y2=4于A、B两点,分别过A、B作圆C的切线,如果两切线相交于点Q,那么点Q

2025-05-18 07:10:35
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回答1:

设A(m,n),Q(x,y),根据圆的对称性可得
Q点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点
∵圆x2+y2=4的圆心为C(0,0)
∴切线AQ的斜率为k1=-

1
kAC
=-
m
n
,得
得AQ方程为y-n=-
m
n
(x-m),化简得y=-
m
n
x+
4
n
…①
又∵直线PA的斜率kPA=
3?n
1?m

∴直线CQ的斜率k2=-
1
kPA
=
m?1
3?n

得直线CQ方程为y=
m?1
3?n
x…②
①②联解,消去m、n得x+3y-4=0,即为点Q轨迹所在直线方程
由于直线x+3y-4=0与圆C:x2+y2=4相交,所以直线位于圆上或圆内的点除外
故选:A