如何证明有些函数有且只有一个零点

1、证明函数的区间单调性，即证明函数为单调函数；

2、证明在单调区间上存在f(x₁)·f(x₂)<0，x₁不等于x₂，即函数在此区间有一个零点；

3、综上所述，函数在区间上单调+有一个零点，得函数f(x)在此区间有且只有一个零点。

一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点（the zero of the function）。即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。函数的零点不是一个点，而是一个实数。

扩展资料：

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解。

一般结论：函数y=f（x）的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实数根，推出函数y=f(x)的图像与x轴有交点，推出函数y=f(x)有零点。

更一般的结论：函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标，这个结论很有用。

函数有且只有一个零点的证明方法：

1. 首先证明f(x)=0有根。（存在性）

   利用根的存在定理证明即

   若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且：f(a)f(b)<0,那么在开区间(a,b)上，至少存在一点x0,使得：f(x0)=0.

2. 其次证明这个函数是单调的。（唯一性）

   利用单调性定义证明单调性。
   

   一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。

3. 通过以上两步就可以证明函数有且只有一个零点。

要证明某个函数有且只有一个零点，通常需要使用数学分析中的零点定理以及相关的性质。以下是一种常见的证明方法：

假设函数f(x)在某个区间[a, b]上连续，并且在该区间上恒不为零。我们希望证明f(x)在该区间上有且只有一个零点。

1. 首先，由于f(x)在区间[a, b]上连续，根据零点定理（或者称为介值定理），我们知道如果f(a)与f(b)异号，那么在[a, b]之间存在至少一个零点。

2. 假设f(x)在[a, b]上有两个不同的零点x1和x2，那么根据介值定理，在[x1, x2]之间，f(x)应该恒为零。然而，由于f(x)在[a, b]上恒不为零，这与假设矛盾。

3. 因此，我们可以得出结论，f(x)在区间[a, b]上至多只有一个零点。

4. 同样的方式，我们可以在区间[b, a]上应用同样的推理，得出结论在该区间上也至多只有一个零点。

综上所述，我们就证明了函数f(x)在给定的区间上有且只有一个零点。这个证明过程主要依赖于零点定理的应用。需要注意的是，具体证明方法可能因函数的性质而有所不同，因此在具体问题中需要根据函数的特点选择合适的证明方法。

①函数为单调函数，且存在f(x₁)·f(x₂)<0,则f(x)有且只有一个零点；
②f(x)存在有唯一的最大值(或最小值)=0，则f(x)有且只有一个零点。

先用零点存在性定理证明他有零点，在根据单调性（用导数）判断零点个数
学过导数之后，这是高二常考的题。