解：原式=∫∫∫<Σ>3dxdydz(应用奥高公式)=3∫<0,2π>dθ∫<0,R/√2>rdr∫dz(作柱面坐标变换)=6π∫<0,R/√2>[√(R^2-r^2)-r]rdr=6π[(√2-1)R^3/(3√2)]=(2-√2)πR^3。
