191问答库 > 已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an}的通项公

已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an}的通项公

2025-05-14 13:44:18

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回答1：

（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）na_n=n?2ⁿ，S_n=2+2?2²+3?2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ①2S_n=2²+2?2³+3?2⁴+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹②
①-②有-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
故S_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）