设A1、A2与B分别是椭圆 E：x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0)的左 右顶点与上定点

：（1）证明：∵A1、A2与B分别是椭圆E：
x2
a2

y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点与上定点，
∴A1（-a，0），A2（a，0），B（0，b），
∴直线A2B的方程是
x
a

y
b
=1，
∵直线A2B与圆C：x2 y2=1相切，
∴
1
1
a2

1
b2
=1，故
1
a2

1
b2
=1．
（2）解：设P（x0，y0），则直线PA1，PA2的斜率之积为：
kPA1•kPA2=
y0
x0 a
•
y0
x0-a
=
y02
x02-a2
=-
1
3
，
x02
a2

3y02
a2
=1，
∵
x02
a2

y02
b2
=1，∴b2=
1
3
a2，
结合
1
a2

1
b2
=1，得a2=4，b2=
4
3
，
∴椭圆E的方程为
x2
4

3y2
4
=1．
（3）解：设点M（x1，y1），N（x2，y2），
①若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx m，
由y=kx m代入
x2
a2

y2
b2
=1，得
x2
a2

(kx m)2
b2
=1，
化简，得（b2 a2k2）x2 2a2kmx a2m2-a2b2=0（△＞0），
∴x1x2=
a2m2-a2b2
b2 a2k2
，
y1y2=（kx1 m）（kx2 m）
=k2x1x2 km（x1 x2） m2
=
a2k2m2-a2b2k2
b2 a2k2
km（-
2a2km
b2 a2k2
） m2
=
b2m2-a2b2k2
b2 a2k2
，
∵
OM
•
ON
=0，∴x1x2 y1y2=0．
代入，得（a2 b2）m2-a2b2（1 k2）=0，
∵
1
a2

1
b2
=1，∴m2=1 k2，
圆心到直线l的距离为d=
|m|
1 k2
=1，
所以，直线l与圆C相切．
②若直线l的斜率不存在，设直线l：x=n，
代入
x2
a2

y2
b2
=1，得y=±b
1-
n2
a2
，
∴|n|=b
1-
n2
a2
，∴a2n2=b2（a2-n2），
解得n=±1，所以直线l与圆C相切．：（1）证明：∵A1、A2与B分别是椭圆E：
x2
a2

y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点与上定点，
∴A1（-a，0），A2（a，0），B（0，b），
∴直线A2B的方程是
x
a

y
b
=1，
∵直线A2B与圆C：x2 y2=1相切，
∴
1
1
a2

1
b2
=1，故
1
a2

1
b2
=1．
（2）解：设P（x0，y0），则直线PA1，PA2的斜率之积为：
kPA1•kPA2=
y0
x0 a
•
y0
x0-a
=
y02
x02-a2
=-
1
3
，
x02
a2

3y02
a2
=1，
∵
x02
a2

y02
b2
=1，∴b2=
1
3
a2，
结合
1
a2

1
b2
=1，得a2=4，b2=
4
3
，
∴椭圆E的方程为
x2
4

3y2
4
=1．
（3）解：设点M（x1，y1），N（x2，y2），
①若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx m，
由y=kx m代入
x2
a2

y2
b2
=1，得
x2
a2

(kx m)2
b2
=1，
化简，得（b2 a2k2）x2 2a2kmx a2m2-a2b2=0（△＞0），
∴x1x2=
a2m2-a2b2
b2 a2k2
，
y1y2=（kx1 m）（kx2 m）
=k2x1x2 km（x1 x2） m2
=
a2k2m2-a2b2 k2
b2 a2k2
km（-
2a2km
b2 a2k2
） m2
=
b2m2-a2b2k2
b2 a2k2
，
∵
OM
•
ON
=0，∴x1x2 y1y2=0．
代入，得（a2 b2）m2-a2b2（1 k2）=0，
∵
1
a2

1
b2
=1，∴m2=1 k2，
圆心到直线l的距离为d=
|m|
1 k2
=1，
所以，直线l与圆C相切．
②若直线l的斜率不存在，设直线l：x=n，
代入
x2
a2

y2
b2
=1，得y=±b
1-
n2
a2
，
∴|n|=b
1-
n2
a2
，∴a2n2=b2（a2-n2），
解得n=±1，所以直线l与圆C相切